线性方程与常数变易法.

发布时间:2021-10-24 14:29:21

§2.2 线性方程与常数变易法

一阶线性微分方程
a(x) dy ? b(x) y ? c(x) ? 0 dx
在a(x) ? 0的区间上可写成 dy ? P(x) y ? Q(x) (1) dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数
若Q(x) ? 0,则(1)变为
dy ? P(x) y (2) dx (2)称为一阶齐次线性方程
若Q(x) ? 0,则(1)称为一阶非齐线性方程

一 一阶线性微分方程的解法-----常数变易法

10 解对应的齐次方程
dy ? p(x) y (2) 得对应齐次方程解 dx

y ? ce? p(x)dx, c为任意常数

20 常数变易法求解

dy ? P(x) y ? Q(x) dx

(1)

(将常数c变为x的待定函数 c(x), 使它为(1)的解)

令y ? c(x)e? p(x)dx为(1)的解,则

dy ? dc(x) e? p(x)dx ? c(x) p(x)e? p(x)dx dx dx

代入(1)得

dc(x) ? Q(x)e?? p(x)dx dx

? 积分得

c(x) ?

Q

(

x)e

??

p

(

x

)dx

dx

?

~
c

30 故(1)的通解为

? y ? e? p(x)dx (

Q(

x)e??

p

(

x

) dx

dx

?

~
c)

(3)

注 求(1)的通解可直接用公式(3)

例1 求方程

(x ?1) dy ? ny ? ex (x ?1)n?1 dx

通解,这里为n常数 解: 将方程改写为

dy ? n y ? ex (x ?1)n dx x ?1

首先,求齐次方程 dy ? n y 的通解

dx x ?1



dy ? n y 分离变量得 dx x ?1

dy ? n dx y x ?1

两边积分得 ln y ? nln x ?1 ? c1

故对应齐次方程通解为 y ? c(x ?1)n

y

?

ce? p(x)dx

?

ce?

n dx x?1

?

c(x

?1)n

其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y ? c(x)( x ?1)n为原方程的通解 , 代入得

dc(x) (x ?1)n ? nc(x)(x ?1)n?1 ? nc(x)(x ?1)n?1 ? ex (x ?1)n dx



dc(x) ? ex dx

积分得

~
c(x) ? ex ? c

~

~

故通解为 y ? (x ?1)n (ex ? c), c为任意常数

例2 求方程

dy y dx ? 2x ? y2 通解.

解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ,但将它改写为

dx ? 2x ? y2 dy y



dx ? 2 x ? y dy y

它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ,

? 故其通解为

x ? e? p( y)dy (

Q(

y

)e

??

p

(

y

)

dy

dy

?

~
c)

? ?

e?

2 y

dy

(

(?

y)e

??

2 y

dy

dy

?

~
c)

~
? y2 (? ln y ? c), c为任意常数 。

例3 求值问题 dy ? 3 y ? 4x2 ?1, dx x
的解.
解: 先求原方程的通解

y(1) ? 1

? y ? e? p(x)dx (

Q(

x)e??

p(

x)

dx

dx

?

~
c)

? ?

e

?

3 x

dx

(

(4x2

?1)e??

3 dx
x dx

?

~
c)

? ? x3(

(4x2

?1)

1 x3

dx

?

~
c)

?

x3(4 ln

x?

1 2x2

~
? c)

? x3 (

(4x2

?1)

1 x3

dx

?

~
c)

?

x3

ln

x4

?

x

?

~
c

x3

2

将初始条件 y(1) ? 1代入后得

故所给初值问题的通解为

~
c

?

3

2

y ? x3 ln x4 ? 3 x3 ? x 22

二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy ? p(x) y ? Q(x) yn dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
解法: 10 引入变量变换 z ? y1?n ,方程变为
dz ? (1? n)P(x)z ? (1? n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
30 变量还原

例4 求方程 dy ? y ? x2 dx 2x 2y
的通解.
解: 这是Bernoulli 方程, n ? ?1, 令z ? y2, 代入方程得

dz ? 1 z ? x2 dx x
解以上线性方程得

? z

?

e?

1 dx x

(

x

2e??

1 x

dx

dx

?

c)

? cx ? 1 x3 2

将z ? y2代入得所给方程的通解 为:

y2 ? cx ? 1 x3 2

二 线性微分方程的应用举例
例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电 路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数, 试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.

解: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 L dI , RI,
dt
于是由Kirchhoff第二定律, 得到
L dI ? RI ? E. dt
取开关闭合时的时刻为0, 即I (0) ? 0.
解线性方程: dI ? ? R I ? E . dt L L

得通解为:

I (t)

?

?Rt
ce L

?

E

R

I (t)

?

?Rt
ce L

?

E

R

由初始条件 I (0) ? 0得, c ? ? E R
故当开关K合上后,电路中电流强度为

I (t)

?

E

?Rt
(1? e L )

R

作业
P37 7,8,11,12,15,16,20


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